Rabu, 07 Desember 2011

LINGKARAN

A. Persamaan Lingkaran yang berpusat di O (0, 0) dan berjari-jari r.


Dari gambar, diperoleh persamaan : OP = r


Sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat di O dan berjari-jari r , yaitu :


Suatu titik A dikatakan :
a. Terletak pada lingkaran
b. Terletak di dalam lingkaran
c. Terletak di luar lingkaran

B. Persamaan Lingkaran yang berpusat di P (a, b) dan berjari-jari r.


Gambar di atas adalah sebuah lingkaran dengan pusat (a, b) dan berjari-jari r. Titik Q (x, y) adalah sebuah titik pada lingkaran.
Dari gambar diperoleh persamaan : PQ = r

Sehingga diperoleh persamaan lingkaran dengan pusat di P (a, b) dan berjari-jari r, yaitu :
Suatu titik A dikatakan :
a. Terletak pada lingkaran

b. Terletak di dalam lingkaran

c. Terletak di luar lingkaran


C. Persamaan Umum Lingkaran
Bila kita menjabarkan persamaan :

Dan mengatur kembali suku-sukunya, maka akan diperoleh :


Persamaan terakhir dapat pula dinyatakan dengan :

Dengan :



Persamaan (3) merupakan persamaan lingkaran dengan pusat di dan berjari-jari
D. Persamaan garis singgung lingkaran
1. Garis singgung lingkaran melalui sebuah titik lingkaran
* Garis singgung lingkaran melalui sebuah titik pada lingkaran ditentukan dengan rumus

* Persamaan garis singgung melaui titik P pada lingkaran
dinyatakan dengan rumus :


*Persamaan garis singgung melaui titik P pada lingkaran dinyatakan dengan rumus :

2. Garis singgung dengan gradien yang diketahui.

* Jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran , maka persamaan garis singgungnya adalah : * Jika garis y = mx + n menyinggung lingkaran
Maka persamaan garis singgungnya :

3. Garis singgung melalui sebuah titik diluar lingkaran
Dari suatu titik P yang terletak di luar garis lingkaran dapat dibentuk dua garis singgung.


Persamaan umum garis singgung lingkaran melalui sebuah titik P terletak di luar garis lingkaran adalah :


Langkah menentukan gradien ( m ) untuk persamaan (10) adalah sebagai berikut :
1. Substitusikan persamaan ke persamaan lingkaran sehingga diperoleh suatu persamaan kuadrat.
2. Dengan mengambil nilai D=0 , maka dipetoleh nilai m.

Rumus Lingkaran

Lingkaran memiliki rumus sebagai berikut :
Keliling = 2pR
Luas = pR2
Dengan nilai p »3,1415……
p diperoleh dengan membandingkan keliling dengan diameternya
p = K/d atau K = pd
Karena d = 2R maka K = 2pR
Perhatikan bahwa panjang busur AB adalah seperempat keliling lingkaran dan luas OAB adalah seperempat luas lingkaran. Nilai seperempat ini sebenarnya berasal dari 90o/360o, karena sudut AOB sama dengan 90o.







Jika sudut AOB kita ganti a
maka bentuk 90o/360o berubah menjadi a/360o
Perhatikan gambar berikut :
Dari gambar tersebut dapat
disimpulkan bahwa




Diposting oleh di 1 komentar:

Selasa, 06 Desember 2011

TRIGONOMETRI

Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.

Sejarah awal

Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga.
Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut.
Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.

Trigonometri sekarang ini

Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.
Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.
Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New South Wales. Informasi lebih lanjut bisa dilihat di situs webnya [1].

 Hubungan fungsi trigonometri

\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}\,
\cot A = \frac{1}{\tan A} = \frac{\cos A}{\sin A}\,
\sec A = \frac{1}{\cos A}\,
\csc A = \frac{1}{\sin A}\,

Identitas trigonometri

\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \,
1 + \tan^2 A = \frac{1}{\cos^2 A} = \sec^2 A\,
1 + \cot^2 A = \frac{1}{\sin^2 A} = \csc^2 A \,

 Penjumlahan

\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \,
\sin (A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B \,
\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \,
\cos (A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B \,
\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B} \,
\tan (A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} \,

 Rumus sudut rangkap dua

\sin 2A = 2 \sin A \cos A \,
\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A -1 = 1-2 \sin^2 A \,
\tan 2A = {2 \tan A \over 1 - \tan^2 A} = {2 \cot A \over \cot^2 A - 1} = {2 \over \cot A - \tan A} \, Rumus sudut rangkap tiga
\sin 3A = 3 \sin A - 4 \sin^3 A \,
\cos 3A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A \,

Rumus setengah sudut

\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{2}} \,
\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1+\cos A}{2}} \,
\tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos A}{1+\cos A}} = \frac {\sin A}{1+\cos A} = \frac {1-\cos A}{\sin A} \,
Diposting oleh di 1 komentar:
Langganan: Postingan (Atom)